地図投影法を開発してみたシリーズ2（近似と応用）

August's Conformal Projection of the Sphere on a Two-Cusped Epicycloidから

文中の複素sin関数によるEisenlohrっぽいやつを仮にfalse Eisenlohr projectionと呼ぶことにします。

f:id:dummy_index:20200821235349p:plain — August epicyclodal, false Eisenlohr and Eisenlohr projection

このAugust epicycloidalかfalse EisenlohrをもとにEisenlohrを近似したいと思います。

前回のApproximate to the Peirce quincuncial projection - dummy_indexのブログのノリで考えるとこのまま座標の重み付け和を取るところですが、そうするとcuspのところが調整しにくくなりますし、閉形式のinverse formulaを得るのが困難になります。そこで今回はLagrangeで円形になった段階で多項式により調整することを考えました。

false Eisenlohrに5次の有理式（係数の自由度4）による調整を組み合わせました。多項式ではなく有理式を使ったのは、閉形式のinverse formulaにするためになるべく次数を下げたかったからです。同じ係数1個でも $y=x+ax^ 3$ だと3次ですが $y=x/(1+ax^ 2)$ なら $ay \cdot x ^2 - x + y = 0$ で2次で解けます。結局5次になってしまったので閉形式は今後の課題です。

最適化にはGnuplotのfitコマンドを使用します。目的関数は『外周において長さスケール倍率が一定（ $=3+2\sqrt{2}$ ）に近くなるように』設定します。なお正解のEisenlohr projectionの外形は使用していません。注意点として、有理式のため零点と極が地図内に入ってきても外周だけ見ていると問題なく最適化できているように見えてしまうことがあります。係数が大きくなっていないか、全体図を表示して変なコブがないかを確認するようにしましょう。

結果、外形を目的関数に使わなくてもEisenlohrを再現できました。誤差12.5m、外周スケール倍率（対原点）は5.82829～5.82857 (幅0.005%)

f:id:dummy_index:20200821235719p:plain — Eisenlohr and approximate Eisenlohr projection

ここまでは既存の図法の近似でしたが、 On distortion and optimal projections - Page 10 - Mapthematics Forumsを受けて両半球の接合部の長さが270度(0.25)と90度(0.75)のパターンを作成してみます。正解は未知なので、外周スケール倍率の誤差幅だけで成否を判断することになります。

270度の場合、外周スケール倍率（対原点）は25.2726～25.2750 (幅0.01%)、ただし一部数値的に問題あり（修正すればもう少し誤差が改善しそうです。）